數學不僅是嚴謹與證明
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正文

每個重要的銀河文化都傾向經歷三個不同且明顯的階段，也就是生存、質疑和世故，又名如何、為何和何處的三階段。比方說，第一階段最重要的問題是：我們要如何弄吃的？第二階段的問題是：我們為何要吃？第三階段則是：我們去何處吃午餐？

道格拉斯‧亞當斯 《銀河便車指南》

數學教育大致可以分為三個階段：

  1. 嚴謹前：基於示例以非正式但直觀的模糊又過度表達方式教授。好比微積分通常先從斜率、面積與變化量等面向開始說明，著重於計算而非理論。這個階段一般會持續到大學生涯的前期。
  2. 嚴謹：為了「正確地」處理數學，需要學習精確且正式的方式。例如引進 $\epsilon–\delta$ 來重新理解微積分。此時以理論為教授核心，期許學生能不經歷任何調適便能在不怎麼關注這些數學符號的具體「意義」下完成抽象操作。這個階段大致在大學生涯的後期至研究生生涯早期。
  3. 嚴謹後：學生已經對所選領域的自我嚴謹程度感到滿意，現在要重新審視與完善對該領域的嚴謹直覺——得到嚴謹理論的強力支持。例如人們在這個階段能夠透過使用純量微積分、非正式但半嚴謹地使用無窮小量或大 O 記法等，達到能快狠準地在向量微積分進行計算操作，並能在需要將所有此類計算轉換為嚴謹的論證。重點是應用、直覺與「大方向」。這個階段通常為研究生生涯後期及其未來。

第一階段過渡至第二階段是眾所周知的痛苦，可怖的「證明型問題」更是禍害數學系學生的主因。另請參見《數學不僅僅是成績、考試與方法》（Tao, 2009） 。但從第二階段過渡至第三階段也同樣重要，不該被人所遺忘。

知道如何嚴謹地思考當然是至關重要的，這給了我們避免許多常見錯誤與釐清眾多誤解的原則。但這不幸地也會產生意想不到的後果，即「模糊」與「直觀」的思維被視為「不嚴謹」而棄用——如啟發法、由示例得出的明智推論，或像物理學般由上下文進行類比。許多時候人只能在正式的層面處理數學並拋棄自己的直覺，從而只能在第二階段裹足不前。其他暫且不說，這可能影響一個人閱讀數學論文的能力。當遇到論文中的一個拼寫錯誤或字義存在歧異時，便會在字面意義上產生「編譯錯誤」。（譯按：通俗點說就是卡 bug，後面完全無法閱讀，直接死當。）

嚴謹的目的並不是要摧毀你所有直覺，而是只逐出所有的「壞直覺」，並提供清晰且「正確」的直覺。只有結合嚴謹的形式主義與正確直覺才能解決複雜的數學問題，前者要求對精密處理細節，後者要求正確看待大方向。若兩者缺其一，你會兩眼一黑浪費掉許多時間——當然，這可能讓你有所啟發，但非常沒有效率。因此，當你一旦完全適應了嚴謹的數學思維後，就該利用它來測試並完善你的直覺，決不是拋棄掉它。你可以試者問自己一些愚蠢的問題，或是重新看看以前的那些知識。

理想的目標是你的每個啟發是論證都自然而然地暗示了某個嚴格的論證，反之亦然。最終你將能夠同時掌握兩者來解決數學問題，如同你在「現實生活」中解決問題一般。

另請參閱：

  • Bill Thurston 的文章 《關於數學的證明與發展》（Thurston, 1994）；
  • Henri Poincare 的 《數學中的直覺與邏輯》（原題：Intuition and logic in mathematics，為 Poincaré (1905) 中的第一部。）；
  • Stephen Fry 關於類似此現象的演講，即語言不單單只是語法與拼寫 (Matthew Rogers, 2010)；
  • 柯爾伯格道德發展階段 (Lawrence Kohlberg's stages of moral development，這大致表明道德比習俗或社會秩序更重要)

補充

數學家在上述三階段上仍可能在數學寫作上犯了形式錯誤 (formal mistake)，但這些錯誤的「性質」往往大不相同，取決於位於哪一階段：

  1. 嚴謹前：由於「無法」理解嚴格的數學形式主義該如何運作，盲目地仿造形式或運用啟發式方法。對於這些數學家來說，即便明確地指出錯誤，通常也很難理解與糾正。
  2. 嚴謹：因為還未完善自己對於形式的理解，無法根據直覺或其他經驗法則進行足夠的「SAN 值檢定」來發現符號錯誤，或未能正確驗證使用中工具所需的假設前提。但一指出此類錯誤，通常可以發覺並修正。（譯按：我最討厭那種不看前提亂套定理用，講也講不聽的。）
  3. 嚴謹後：通常是因他們「不再需要」形式主義而主要以直覺進行來完成高階 (high-level) 數學推理，在翻譯到形式數學語言時出現落差。

這三種錯誤類型之間的區別可能導致嚴謹後數學家的數學論證現象——在嚴謹前階段的讀者通常會對此感到困惑——該論證在局部包含了許多拼寫錯誤與其他形式錯誤，但整體來看是相當合理的。局部錯誤蔓延一段時間，然後被其他局部錯誤抵銷。相比之下，當沒有堅實的直覺確認時，嚴謹前或嚴謹數學家一旦在論證中出現錯誤就會無止盡的失控發散最終留下廢話。請參閱 Tao (2022) 以進一步討論這些錯誤，以及如何閱讀論文來彌補它。

我在 Numberphile2 (2017) 的影片中對該問題所進一步的討論。

參考文獻